题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且
，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2．
【答案】分析：（1）根据题意，可得2Sn=an+an2①与
②成立，①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，可以化简为an-an-1=1（n≥2），进而可得{an}是公差为1的等差数列，将n=1代入①中，可得a1=1，由等差数列的通项公式，可得答案；
（2）由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而an=n，则总有
≤
，用放缩法，可得
，由裂项相消法，对右式求和可得证明．
解答：解：（1）根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴
（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．（n∈N*）
（2）证明：由（1）的结论，an=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有
≤
．
∴
=
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
点评：本题考查数列与不等式，类似（2）的证明不等式的问题，一般用放缩法，使用时，注意适当放缩，否则不会得到证明．
②成立，①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，可以化简为an-an-1=1（n≥2），进而可得{an}是公差为1的等差数列，将n=1代入①中，可得a1=1，由等差数列的通项公式，可得答案；（2）由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而an=n，则总有
≤，用放缩法，可得，由裂项相消法，对右式求和可得证明．解答：解：（1）根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴
（n≥2）②①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．（n∈N*）
（2）证明：由（1）的结论，an=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有
≤．∴
=
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
点评：本题考查数列与不等式，类似（2）的证明不等式的问题，一般用放缩法，使用时，注意适当放缩，否则不会得到证明．
练习册系列答案
相关题目