Question

已知函数f（x）=

a•2x-2+a

2x+1

（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）≤f（2a-x）的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数是增函数．
（2）利用f（x）为定义域上的奇函数，由f（0）=0，确定a，
①利用函数的单调性求值域．②利用函数的单调性解不等式即可．

解答：解：（1）函数f（x）在R上单调递增．
证明：∵f（x）=

a•2x-2+a

2x+1

=

a(2x+1)-2

2x+1

=a-

2

2x+1

，
∴在定义域上任意设两个实数x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）的定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=

2a-2

2

=a-1=0，解得a=1，经检验符合．
∴f（x）=

2x-1

2x+1

．
①∵f（x）在R上是增函数．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
∴当x=-1时，函数f（x）取得最小值f（-1）=-

1

3

．
当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=

1

3

．
∴-

1

3

≤f（x）≤

1

3

．，即函数f（x）的值域是[-

1

3

，

1

3

]．
②∵a=1，∴不等式f（ax）≤f（2a-x）等价为f（x）≤f（2-x），
∵f（x）在R上是增函数．
∴x＜2-x，解x＜1，
∴x的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数单调性的判断和证明，利用单调性的性质求函数的值域是解决本题的关键．