一对父子参加一个亲子摸奖游戏.其规则如下:父亲在装有红色.白色球各两个的甲袋子里随机取两个球.儿子在装有红色.白色.黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球.父子俩取球相互独立.两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖.他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表:所取球的情况三个球均为红色三个球均不同色恰有两球为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如表：

所取球的情况	三个球均为红色	三个球均不同色	恰有两球为红色	其他情况
所获得的积分	180	90	60	0

（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）；
（Ⅲ）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．

分析（Ⅰ）所取三个球恰有两个是红球，包含两类基本事件，即父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球，然后利用古典概型概率计算公式及互斥事件的加法公式求得答案；
（Ⅱ）求出X的取值，再求出取各个值的概，列出分布列，再由期望公式求期望
（Ⅲ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～$B（3，\frac{1}{3}）$，然后结合互斥事件的概率公式求得答案．

解答解：（Ⅰ）设所取三个球恰有两个是红球为事件A，则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为$\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{1}{9}$；
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$．
故$P（A）=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）X可以取180，90，60，0，取各个值的概率分别为：$P（X=180）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{1}{18}，P（X=90）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，$P（X=60）=\frac{1}{3}，P（X=0）=1-\frac{1}{18}-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$．
所求分布列为：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

随机变量X的期望$E（X）=180×\frac{1}{18}+90×\frac{2}{9}+60×\frac{1}{3}+0×\frac{7}{18}=50$；
（Ⅲ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数Y～$B（3，\frac{1}{3}）$，
则$P（Y≥2）=P（Y=2）+P（Y=3）=C_3^2{（\frac{1}{3}）^2}•\frac{2}{3}+C_3^3{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{7}{27}$，
故所求概率为$\frac{7}{27}$．

点评本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了古典概型概率公式的应用，考查了二项分布，是中档题．