Question

如图，正三棱柱ABC一A₁B₁C₁的棱长均为2a，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥B一AB₁E的体积．

Answer 1

分析：（I）取BC中点M，连AM，B₁M，则AM⊥BC，由BB₁⊥平面ABC，知BB₁⊥AM，BC∩BB₁=B，由此能够证明AB₁⊥BE．
（II）VE-AE1E=VE-AEE1=VC-AEE1=VE1-ABC，由此能求出三棱锥B一AB₁E的体积．

解答：证明：（I）取BC中点M，连AM，B₁M，则AM⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AM，BC∩BB₁=B
∴AM⊥平面BB₁C₁C
由条件△BCE≌△B₁BM，
∴∠BB₁M=∠CBE，而∠CBE+∠EBB₁=90°
∴∠BB₁M+∠EBB₁=90°，则B₁M⊥BE
∵B₁M为B₁A在平面BB₁C₁C上的射影，
∴AB₁⊥BE．
（II）VE-AE1E=VE-AEE1=VC-AEE1=VE1-ABC
=

1

3

•

3

4

(2a)2•2a
=

2 3

3

a3．

点评：本题考查直线关系的证明和棱锥体积的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．