题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B1到平面A1BD的距离．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用
⊥
，
⊥
得到AE⊥A1D，AE⊥BD，从而证得AE⊥平面A1BD．
（2）先求出面DA1B的法向量
，面BA1A的法向量
，再利用两法向量夹角与二面角的平面角相等或互补的关系求解即可．
（3）点B1到平面A1BD的距离等于
在面A1BD的法向量
方向上投影的绝对值．
| AE |
| A1D |
| AE |
| BD |
（2）先求出面DA1B的法向量
| n1 |
| n2 |
（3）点B1到平面A1BD的距离等于
| B1B |
| n1 |
解答：解：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A1 （1，-2，0）C1 （-1，-2，0）B （0，0，
）
=（-2，-1，0）
=（-1，2，0）
=（0.0，-
）
∵
•
=2-2+0=0
∵
•
=0，∴∴
⊥
，
⊥
即AE⊥A1D，AE⊥BD，又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
（2）设面DA1B的法向量为
=（x1，y1，z1）由
•
=0，
•
=0
得
取
=（2，1，0）
设面BA1A的法向量为
(x2，y2，z2)，
同理由
•
=0，
•
=0
解得
=（3.0，
），
cos＜
，
＞=
=
．
由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角，所以它的大小为arccos
．
（3）
=（0，2，0）平面A1BD的法向量取
=（2，1，0）
则点B1到平面A1BD的距离d=|
| =
=
．
则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A1 （1，-2，0）C1 （-1，-2，0）B （0，0，
| 3 |
| AE |
| A1D |
| BD |
| 3 |
∵
| AE |
| A1D |
∵
| AE |
| BD |
| AE |
| A1D |
| AE |
| BD |
即AE⊥A1D，AE⊥BD，又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
（2）设面DA1B的法向量为
| n1 |
| n1 |
| A1D |
| n1 |
| BD |
得
|
| n1 |
设面BA1A的法向量为
| n2= |
同理由
| n2 |
| A1B |
| n2 |
| A1A |
解得
| n2 |
| 3 |
cos＜
| n1 |
| n2 |
| 6 | ||||
|
| ||
| 5 |
由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角，所以它的大小为arccos
| ||
| 5 |
（3）
| B1B |
| n1 |
则点B1到平面A1BD的距离d=|
| ||||
|
|
| 2 | ||
|
2
| ||
| 5 |
点评：本题考用空间向量解决直线和平面位置关系、二面角大小，点面距的计算，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力．属于常规题目．
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B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
（2013•郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
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