Question

【题目】(导学号：05856301)已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)，其导函数为f′(x)，若对任意的x<0，不等式x2＋(m＋1)x>f′(x)恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A. (0,1) B. (－∞，1) C. (－∞，1] D. (1，＋∞)

Answer 1

【答案】C

【解析】由题意得f′(x)＝mex＋m(x－1)ex＋x＝mxex＋x，

所以x2＋(m＋1)x>f′(x)对任意的x<0恒成立等价于mxex＋x<x2＋(m＋1)x对任意的x<0恒成立，

即mex－x－m>0对任意的x<0恒成立．

令g(x)＝mex－x－m(x<0)，则g′(x)＝mex－1，

当m≤1时，g′(x)＝mex－1≤ex－1<0，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)>g(0)＝0，符合题意；

当m>1时，g(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增，所以g(x)min＝g(－ln m)<g(0)＝0，不合题意．

所以实数m的取值范围为(－∞，1]．

故选：C