Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹与S_n-1=2a_n-1-2ⁿ作差整理可知a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ、整理得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n∈N^*），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
两边同时除以2ⁿ，得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
又∵a₁=2a₁-4，即$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1=n+1，a_n=（n+1）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，构造等差数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．