Question

已知f(x)=x³-2ax²-3x(a＞0).

(1)当0＜a≤时，求证在(-1，1)内是减函数；

(2)若y=f(x)在(-1，1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)f′(x)=2x²-4ax-3,∵0＜a≤,∴

且二次函数的开口向上，∴x∈(-1,1)时f′(x)＜0,

故f(x)在(-1，1)上是减函数.                                                   

(2)设极值点为x₀∈(-1,1)时，则f′(x₀)=0.当a＞时,∵

∴在(-1，x₀)内f′(x)＞0，在(x₀,1)内f′(x)＜0,

即f(x)在(-1，x₀)上是增函数，f(x)在(x₀,1)内是减函数.

∴a＞时,f(x)在(-1，1)内有且只有一个极值点，且是极大值点.

当0≤a≤，由(1)知f(x)在(-1，1)内没有极值点,

故所求a的范围是(，+∞).