Question

用数学归纳法证明，若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N₊).

Answer 1

思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,

右边=2·f(2)=2×(1+)=3,左边=右边，等式成立.

（2）假设n=k时等式成立，即

k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).

由已知条件可得f(k+1)=f(k)+,

右边=(k+1)·f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.

当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)

=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(凑成归纳假设)

=kf(k)+1+f(k)(利用假设)

=（k+1）·f(k)+1

=(k+1)·［f(k+1)-］+1

=(k+1)·f(k+1)=右边.

∴当n=k+1时，等式也成立.

由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立.