Question

【题目】已知函数对任意，都有.

（1）若函数的顶点坐标为且，求的解析式；

（2）函数的最小值记为，求函数在上的值域.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）由可得到的对称轴是，由，可得到，结合顶点的坐标可知，即可求出的解析式；（2）由的对称轴是，且，可知，可得到，然后讨论对称轴与所给区间的关系，可判断函数的单调性，即可得到的值域。

解：（1）∵，∴，

∵函数对任意，都有

∴的对称轴是即

∴，

又∵函数的顶点坐标为，∴，解得.

因此函数的解析式为：.

（2）由（1）知的对称轴时，且.

∴，.

对称轴为，

当即时，在是递减的，∴的值域是；

当即时，在上是递增的，在上是递减的，

若即，的值域是，

若即，的值域是，

当即时，在上是递增的，∴的值域是；

综上，当时的值域是；当时的值域是；

当时的值域是；当时的值域是.