题目内容
【题目】已知函数
对任意
，都有
.
（1）若函数
的顶点坐标为
且
，求的解析式；
（2）函数的最小值记为
，求函数
在
上的值域.
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）由
可得到
的对称轴是
，由
，可得到
，结合顶点的坐标可知
，即可求出的解析式；（2）由的对称轴是，且
，可知
，可得到
，然后讨论对称轴与所给区间的关系，可判断函数
的单调性，即可得到的值域。
解：（1）∵，∴，
∵函数对任意
，都有
∴的对称轴是即
∴
，
又∵函数的顶点坐标为
，∴
，解得
.
因此函数的解析式为：.
（2）由（1）知
的对称轴时，且.
∴，
.
对称轴为
，
当
即
时，在
是递减的，∴的值域是
；
当
即
时，在
上是递增的，在
上是递减的，
若
即
，的值域是
，
若
即
，的值域是
，
当
即
时，在上是递增的，∴的值域是
；
综上，当时的值域是；当时的值域是；
当时的值域是；当时的值域是.
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