Question

（2014•郑州一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于

8π

．

Answer 1

分析：利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA₁，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴

1

2

×2×1×sin60°×AA1=

3

∴AA₁=2
∵BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos60°=4+1-2，∴BC=

3

设△ABC外接圆的半径为R，则

BC

sin60°

=2R，∴R=1
∴外接球的半径为

1+1

=

2

∴球的表面积等于4π×(

2

)2=8π
故答案为：8π

点评：本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题．