题目内容
设a，b∈R+，a+b=1．（1）证明：ab+
≥4+
=4
；（2）探索、猜想，将结果填在括号内；
a2b2+
≥（______）；a3b3+
≥（______）；（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．
【答案】分析：（1）先利用基本不等式求出ab的范围，通过将ab换元，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，证出不等式．
（2）由（1）的证明过程归纳出两个不等式
（3）有（1）（2）三个不等式归纳猜测出一般的不等式，类比（1）的证明，将anbn换元，通过导数求出函数的最小值，证出不等式．
解答：（1）证明：∵a+b=1
∴
令ab=t则t∈（0，
]
∴ab+
=t+
令y=t+
∴
单调递减
∴当t=
时，有最小值4+
=
故
（2）
，
，
由（1）归纳猜测
，
（3）
证明：令anbn=m由（1）知，m
令y=
=
由（1）知当m=
时，函数有最小值
∴
点评：本题考查换元的方法、导数研究函数的最值、通过特殊归纳出一般结论、类比证明方法．
（2）由（1）的证明过程归纳出两个不等式
（3）有（1）（2）三个不等式归纳猜测出一般的不等式，类比（1）的证明，将anbn换元，通过导数求出函数的最小值，证出不等式．
解答：（1）证明：∵a+b=1
∴
令ab=t则t∈（0，
]∴ab+
=t+
令y=t+
∴
单调递减∴当t=
时，有最小值4+
=
故
（2）
，
，由（1）归纳猜测
，
（3）
证明：令anbn=m由（1）知，m
令y=
=
由（1）知当m=
时，函数有最小值∴
点评：本题考查换元的方法、导数研究函数的最值、通过特殊归纳出一般结论、类比证明方法．
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