Question

直线l：x-ky+2

2

=0与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．
（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；
（2）求S的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：①根据点到线的距离公式：d=

Ax+By+c

A2+B2

能够算出圆心O到直线l的距离，再表示出弦长|AB|的长度，即，|AB|=2

4-d2

从而三角形面积公式表示出△ABO的面积为S．
②对（1）中所求的△ABO面积表达式进行分离常数处理，即，s(k)=4

2

k2-1 (1+k2)2

=4

2

-2 (1+k2)2 + 1 1+k2

再根据配方法求出s的最大值及此时对应的k的值，最后求出直线方程．

解答：解：（1）圆心O到直线l的距离d=

2 2

1+k2

，
∵l与圆O相交，
∴d＜2，
∴k＞1或k＜-1．
∴s(k)=

1

2

×2

4-d2

•d=

4- 8 1+k2

•

2 2

1+k2

=4

2

k2-1 (1+k2)2

（k＞1或k＜-1）．
（2）s(k)=4

2

-2 (1+k2)2 + 1 1+k2

=4

2

-2( 1 1+k2 - 1 4 )2+ 1 8

≤2，
∴k=±

3

时，有s（k）_max=2．
故，直线l的方程为：x-

3

y+2

2

=0或x+

3

y+2

2

=0．

点评：本题综合考查直线和圆的方程的联立问题，同时要注意①点到线的距离公式②直角三角形等．