Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA、
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．

Answer 1

分析：（I）取PD的中点E，连EO，EM．根据三角形中位线定理，易判断四边形MAOE是平行四边形，则ME∥AC，结合线面平行的判定定理，可得AC∥平面PMD；
（Ⅱ）由已知中PB⊥平面ABCD，CD⊥BC，我们结合线面垂直的性质及判定可得CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得面PBC⊥平面PCD，过B作BF⊥PC于F，连DF，易得∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角，解三角形BDF，即可求出直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，过A作AN⊥DG于N，连MN，．则∠MNA是平面PMD与平面ABCD所成的二面角的平面角，解三角形MNA，即可求出平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．

解答：证明：（Ⅰ）如图，取PD的中点E，连EO，EM．

∵EO∥PB，EO=

1

2

PB，MA∥PB，MA=

1

2

PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC、
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC∥平面PMD．（3分）
解：（Ⅱ）如图，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PB．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD、

过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角．
不妨设AB=2，则在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=

1

2

PC=

2

．
∵BD=2

2

．
∴在Rt△BFD中，BF=

1

2

BD，
∴∠BDF=

π

6

．
∴直线BD与平面PCD所成的角是

π

6

．（5分）
（Ⅲ）如图，

分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，
则平面PMD∩平面ABCD=DG．
不妨设AB=2，
∵MA∥PB，PB=2MA，
∴GA=AB=2．
过A作AN⊥DG于N，连MN．
∵PB⊥平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，∴MN⊥DG．
∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角（锐角）．
在Rt△MAN中，
tan∠MNA=

MA

NA

=

2

2

．
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是

2

2

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求示，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，其中在求线面夹角及二面角时，找出其平面角是解答此类问题的关键．