题目内容
数列{an}的各项均为正值，a1，对任意n∈N*，
，bn=log2（an+1）都成立．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*都有
成立．
，bn=log2（an+1）都成立．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*都有
成立．解：（1）由
，得
（a n+1+2an+1）（a n+1﹣2an﹣1）=0，
数列{an}的各项为正值，a n+1+2an+1＞0，
∴a n+1=2an+1，
∴a n+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴
，
，即为数列{an}的通项公式．
∵bn=log2（an+1），
∴
．
（2）设S=
=
，
∴2S=（
）+（
）+（
）+…+（
），
当x＞0，y＞0时，x+y
，
，
∴（x+y）（
）≥4，
∴
，当且仅当x=y时等号成立．
在2S=（
）+（
）+（
）+…+（
）中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk﹣1全为正，
所以2S＞
+
=
，
∴S＞
＞
=2（1﹣
）＞2（1﹣
）=
，
故对任意的n∈N*都有
成立．
，得（a n+1+2an+1）（a n+1﹣2an﹣1）=0，
数列{an}的各项为正值，a n+1+2an+1＞0，
∴a n+1=2an+1，
∴a n+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴
，，即为数列{an}的通项公式．∵bn=log2（an+1），
∴
．（2）设S=
=，∴2S=（
）+（）+（）+…+（），当x＞0，y＞0时，x+y
，，∴（x+y）（
）≥4，∴
，当且仅当x=y时等号成立．在2S=（
）+（）+（）+…+（）中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk﹣1全为正，所以2S＞
+=，∴S＞
＞=2（1﹣）＞2（1﹣）=，故对任意的n∈N*都有
成立．
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口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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