Question

在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度；
（2）求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．

Answer 1

分析：（1）由题意在三角形中利用余弦定理及位移与速度的关系即可；
（2）解法一：由题意及图形利用物理知识及余弦定理，作AD⊥BC于点D，当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小；求得最小距离；
解法二：由题意及图形利用正弦定理及物理知识，作AD⊥BC于点D，当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小，求的最小距离．

解答：解：（1）设船速为xkm/h，则BC=

x

6

km．
在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB=

1

tan30°

=

3

．
同理，Rt△PCA中，AC=

1

tan60°

=

3

3

．
在△ACB中，∠CAB=15°+45°=60°，
∴由余弦定理得BC=

( 3 )2+( 3 3 )2-2× 3 × 3 3 cos60°

=

21

3

，
∴x=6×

21

3

=2

21

km/h，∴船的航行速度为2

21

km/h．
（2）（方法一）  作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．
此时，AD=

AB•AC•sin60°

BC

=

3 × 3 3 × 3 2

21 3

=

3

14

7

．
∴PD=

1+( 3 14 7 )2

=

259

14

．
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为

259

14

km．
（方法二）由（1）知在△ACB中，由正弦定理

AC

sinB

=

BC

sin60°

，∴sinB=

3 3 × 3 2

21 3

=

21

14

．
作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．
此时，AD=ABsinB=

3

×

21

14

=

3

14

7

．
∴PD=

1+( 3 14 7 )2

=

259

14

．
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为

259

14

km．

点评：本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力，具体涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式．