Question

在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在岛北偏东30°、俯角为30°的B处，到9时10分又测得该船在岛北西60°、俯角为45°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米；
（2）在C点处，该船改为向正南方向航行，而不改变速度，10分钟后到达什么位置（以A点为参照点）？（参考数据：

3

=1.7）

Answer 1

分析：（1）在Rt△PAB和Rt△PAC中分别求得AC和AB，进而在△ACB中利用勾股定理求得BC，进而用里程除以时间求得船的航行速度．
（2）设BC交南北轴于点E，延长BC交东西轴于点F，进而利用三角形内角和求得∠FAC和∠FCA，设10分钟后该船到达点D，进而求得CD，在△ACD中运用余弦定理求得AD的长，进而利用勾股定理判断出△CAD是直角三角形，进而求得∠FAD．

解答：解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，
∴AB=

3

（千米）
在Rt△PAC中，∠APC=45°
∴AC=PA=1（千米）
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
∴BC=

AC2+AB2

=

12+( 3 )2

=2
∴船的航行速度是2÷

1

6

=12（千米/小时）．
（2）设BC交南北轴于点E，延长BC交东西轴于点F，则∠FAC=90°-∠CAE=90°-60°=30°，
∠FCA=180°-60°=120°，
设10分钟后该船到达点D，因为该船向正南航行，所以∠ACD=∠CAE=60°，
10分钟所走的航程是CD=12×

1

6

=2（千米），
在△ACD中，由余弦定理得：AD²=CD²+AC²-2CD•ACcos∠ACD=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AD=

3

≈1.7（千米）
∴△CAD是直角三角形，∠CAD=90°，而∠FAC=30°，
∴∠FAD=90°-30°=60°．
∴10分钟后该船距离在点A西偏南60°，距离A点1.7千米处．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的分析问题和综合运用基础知识的能力，运算能力．