Question

在△ABC中，∠A=

π

4

，tan（A+B）=7，AC=3

2

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

（本小题满分13分）
（I）在△ABC中，因为A+B+C=π…（1分）
所以tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）…（3分）
因为tan（A+B）=7，所以tanC=-7…（4分）
又

tanC= sinC cosC =-7 sin2C+cos2C=1

解得|sinC|=

7 2

10

…（5分）
因为C∈（0，π），
所以sinC=

7 2

10

…（6分）
（II）因为A=

π

4

，所以tan(A+B)=

1+tanB

1-tanB

=7
解得tanB=

3

4

…（8分）
因为C∈（0，π），所以sinB=

3

5

…（9分）
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，代入得到c=7…（11分）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3

2

×7×sin

π

4

=

21

2

…（13分）