Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．
（Ⅰ）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为 ，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求 的取值范围；
（Ⅲ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（+1），即kx﹣y+k=0．
因为直线l被圆C2截得的弦长为 ，而圆C2的半径为1，
所以圆心C2（3，4）到l：kx﹣y+k=0的距离为 ．
化简，得12k2﹣25k+12=0，解得k= 或k= ．
所以直线l方程为4x﹣3y+4=0或3x﹣4y+3=0
（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆
设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中， ，
有 ，
则
由圆的几何性质得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，
则 的最大值为 ，最小值为 ．
故 ．
（Ⅲ）设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2 ，
即 ．
化简得x+y﹣3=0，即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．
设C（m.3﹣m），则动圆C的半径为 = ．
于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2 ．
整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0．
由 得 或
所以定点的坐标为（1﹣ ，2﹣ ），（1+ ，2+ ）


【解析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（+1），根据直线l被圆C2截得的弦长为 ，利用勾股定理，求出k，即可求直线l的方程；（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆，由圆的几何性质得，|DC1|﹣r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4， ，利用向量的数量积公式，即可求 的取值范围；（Ⅲ）确定动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动，求出动圆C的方程，即可得出结论．