Question

已知数列的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)． (1) 证明：数列｛an＋1｝是等比数列 (2) 令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数，(1)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由已知Sn+1＝2Sn＋n＋5，得n≥2时，Sn＝2sn-l＋n＋4． 　　两式相减，得Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1 　　即an+1＝2an＋1，从而an+1＋1＝2(an＋1)． 　　当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6． 　　又a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)． 　　故总有　an+1＋1＝2(an＋1)，n∈N*． 　　又∵a1＝5，∴an＋1≠0，从而＝2 　　即｛an＋1｝是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列．
(2)	解析：由(1)得an＝3×2n－1． 　　∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…anxn， 　　∴(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1． 　　从而(1)＝a1＋2a2＋…＋nan 　　＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1) 　　＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n) 　　＝3［n×2n+1－(2＋…＋2n)］－ 　　＝3［n×2n+1－2n+1＋2］－ 　　＝3(n－1)·2n+1－＋6． 　　点评：本题要注意在n≥2时，an+1＋1＝2(an＋1)成立，不包括a2＋1＝2(a1＋1)，需补充验证．