Question

设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.

Answer 1

(1) 2+b   (2) a=2,b=-1

解:(1)法一　由题知,f(x)=ax++b≥2+b,
其中当且仅当ax=1时等号成立,
即当x=时,f(x)取最小值为2+b.
法二　f(x)的导数f′(x)=a-=,
当x>时,f′(x)>0,f(x)在（,+∞）上递增;
当0<x<时,f′(x)<0,f(x)在（0,）上递减.
所以当x=时,f(x)取最小值为2+b.
(2) f′(x)=a-,
由题设知,f′(1)=a-=,
解得a=2或a=-(不合题意,舍去).
将a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.
所以a=2,b=-1.