Question

已知双曲线的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．且．又双曲线C上的任意一点E满足
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点P满足的值；
（3）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由此能导出双曲线C的方程．
（2）．再结合余弦定理由的值．
（3）联立，由直线与双曲线有两个不同交点，知1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．由此能导出m的取值范围．
解答：解：（1）由

∴双曲线C的方程为．
（2）．

∴|PF₁|•|PF₂|=3
（3）联立
∵直线与双曲线有两个不同交点，
∴1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．①
，∴
整理得3k²=4m+1．②
将②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．
．
∴m的取值范围为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，计算量较大，比较繁琐，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，提高解题能力和解题技巧．