Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ ABC=90°,AC=BC=CC₁=2.

(Ⅰ)证明：AB₁⊥ BC₁；

(Ⅱ )求点B到平面AB₁C₁的距离；

(Ⅲ )求二面角C₁-AB₁-A₁的大小.

Answer 1

解法一:(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，所以CC₁⊥AC，

因为BC=CC₁，所以BCC₁B₁为正方形，

又∠ACB=，所以AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCC₁B₁ 

连结B₁C，则B₁C为AB₁在平面BCC₁B₁上的射影，

因为B₁C⊥BC₁，所以AB₁⊥BC_1. 

(Ⅱ)因为BC∥B₁C₁,BC面AB₁C₁，所以BC∥面AB₁C₁，所以点B到平面AB₁C₁的距离等于点C到平面AB₁C₁的距离. 

连结A₁C交AC₁于H,则CH⊥AC₁，由于B₁C₁⊥A₁C₁，

B₁C₁⊥CC₁，所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，B₁C₁⊥CH，所以CH⊥面AB₁C₁，

所以CH的长度为点B到平面AB₁C₁的距离，

CH=A₁C=.

(Ⅲ)取A₁B₁中点D，连C₁D.因为ΔA₁B₁C₁是等腰三角形，所以C₁D⊥A₁B₁，又BB₁⊥平面A₁B₁C₁，所以BB₁⊥C₁D，所以C₁D⊥平面ABB₁A₁， 

作DE⊥AB₁于E，连C₁E，则DE为C₁E在平面ABB₁A₁上的射影，

所以,C₁E⊥AB₁,∠C₁ED为二面角C₁-AB₁-A₁的平面角. 

由已知C₁D=，DE=，

所以tan∠C₁ED=，∴∠C₁ED=60°.

即二面角C₁-AB₁-A₁的大小为60°. 

解法二：(Ⅰ)如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A(2，0，0)，B(0,2，0)，B₁(0，2，2)，C₁(0，0，2)， 

因为(-2，2，2)·(0，-2，2)=0，

所以AB₁⊥BC₁，

(Ⅱ)设n₁=(x₁，y₁，z₁)是平面AB₁C₁的法向量，

由n₁·=0,n₁·=0,得

令z₁=1，则n₁=(1，0，1)， 

因为 (-2，2，0)，所以，B到平面AB₁C₁的距离为

d=. 

(Ⅲ)设n₂=(x₂，y₂，z₂)是平面A₁AB₁的法向量，

由n₂·=0,n₂·=0,得

令y₂=1，则n₂=(1，1，0)，

因为cos〈n₁，n₂〉=， 

所以，二面角C₁-AB₁-A₁的大小为60°.