题目内容
9．在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A区，3个场馆分布在B区，3个场馆分布在C区．已知A区的每个场馆的排队时间为2小时，B区和C区的每个场馆的排队时间为1小时．参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个区都参观1个场馆的概率；
（Ⅱ） 设小红排队时间总和为X（小时），求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．
分析 （Ⅰ）求出从10个场馆中选三个的基本事件的总数，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数，然后求解故小红每个区都参观1个场馆的概率．
（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有事件参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
解答 解：（Ⅰ）从10个场馆中选三个，基本事件的总数为${C}_{10}^{3}=120$个，
小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为${C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}=36$，
故小红每个区都参观1个场馆的概率为$\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$．
（Ⅱ）X的取值可能是3，4，5，6，分别对应没有事件参观A区场馆，参观一个A区场馆，参观两个A区场馆，参观三个A区场馆，
$P（X=3）=\frac{2{C}_{3}^{3}+2{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，$P（X=4）=\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$P（X=5）=\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，$P（X=6）=\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$．
所以X的分布列为：
| X | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{30}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算能力．
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（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）．
（参考公式与数据：$\sum_{i=1}^{6}$xiyi=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$xi=51.$\sum_{i=1}^{6}$yi=480.$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．）
| 单价x（元） | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
| 销量y（件） | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）．
（参考公式与数据：$\sum_{i=1}^{6}$xiyi=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$xi=51.$\sum_{i=1}^{6}$yi=480.$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．）