Question

用数学归纳法证明：3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（n+2）?2^-n=4-．（n∈N*）

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左端=，右端=4-=，左端=右端，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k=4-，
那么，n=k+1时，
3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-+=4-=4-，
即n=k+1时，等式也成立；
综合（1）（2）可知，对任意n∈N*，等式成立．
分析：当n=1时，将n=1分别代入左端与右端，观察两端是否相等；假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式也成立即可（需用上归纳假设）．
点评：本题考查数学归纳法，关键是由n=k时等式成立去证明“n=k+1时，等式也成立”时需用好归纳假设，属于中档题．