Question

已知函数f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-

3

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

；
（Ⅱ）证明S_n＜

2 3

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

当n=1时成立，再假设不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

也成立，最后得到不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

对于所有的正整数n成立；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明S_n＜

2 3

3

，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+

2

x+1

≥1．
因为a₁=1，所以a_n≥1（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明不等式b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
（1）当n=1时，b₁=

3

-1，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即b_k≤

( 3 -1)k

2k-1

．
那么b_k+1=|a_k+1-

3

|=

( 3 -1)|ak- 3 |

1+ak

3 -1

2

bk≤

( 3 -1)k+1

2k

．
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N^*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

．
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≤（

3

-1）+

( 3 -1)2

2

+…+

( 3 -1)n

2n-1

=（

3

-1）•

1-( 3 -1 2 )n

1- 3 -1 2

＜（

3

-1）•

1

1- 3 -1 2

=

2

3

3

．
故对任意n∈N^*，S_n＜

2

3

3

．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．