Question

在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,

,、分别为、的中点.

   ⑴证明：；

   ⑵(理)求二面角的正切值；

   ⑶求点到平面的距离.

 

Answer 1

解法：⑴取中点,连结、.

∵,∴,,

∴平面,又平面,∴.       ……4分

   ⑵∵平面,平面,∴平面平面.

过作于,则平面,

过作于,连结,则,为二面角的平面角.

∵平面平面,,∴平面.

又平面,∴.∵,

∴,且.

在正中,由平几知识可求得,

在中,

∴二面角的正切值为.   ……8分

  ⑶在中,,∴,.

设点到平面的距离为,

∵,平面,∴,

∴.即点到平面的距离为.  ……14分

解法：⑴取中点,连结、.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.

如图所示建立空间直角坐标系,则,,

,,∴,,

∵,∴.   ……6分

  ⑵∵,,又,∴,.

设为平面的一个法向量,则,

取,,,∴.又为平面的一个法向量,

∴,得

∴.即二面角的正切值为.      ……10分

   ⑶由⑴⑵得,又为平面的一个法向量,,

∴点到平面的距离.……14分