Question

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

Answer 1

（I）证明：（1）连接CD₁∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴A₁D₁∥AD，AD∥BC，A₁D₁=AD，AD=BC；
∴A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四边形A₁BCD₁为平行四边形；
∴A₁B∥D₁C（3分）
∵点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点；
∴EF∥D₁C
又∴EF∥A₁B又∵A₁B?平面A₁DB，EF?面A₁DB；∴EF∥平面A₁BD（6分）
（II）连接AC交BD于点G，连接A₁G，EG
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD
∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，∴A₁G⊥BD，EG⊥BD
∴∠A₁GE为直二面角A₁-BD-E的平面角，∴∠A₁GE=90°（3分）
在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，
∴AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos1202

=2

8

∴AG=GC=

8

（10分）
在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE为直角三角形
∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，
∴∠EGC=∠AA₁G，
∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG（12分）
∴

EC

CG

=

AG

AA1

?EC=

3

4

所以当EC=

3

4

时，A₁-BD-E为直二面角．（15分）