Question

若(2a＋1)⁴＞(3－2a)⁴，试求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由幂函数y＝x4的图象(如下图)可知，函数y＝x4在定义域R上不具有单调性，但若按照变式三的解法进行分类讨论，情况比较复杂．考虑到函数y＝x4在[0，＋∞)上是增函数，且x4＝|x|4，可将原不等式转化为与绝对值有关的问题． 　　解：因为幂函数y＝x4在[0，＋∞)上单调递增， 　　(2a＋1)4＞(3－2a)4可等价转化为|2a＋1|4＞|3－2a|4， 　　显然|2a＋1|≥0，且|3－2a|≥0， 　　所以|2a＋1|＞|3－2a|，两边平方，解得a＞． 　　所以，实数a的取值范围为． 　　点评：上述解法注意到幂函数y＝xα(α＞0)在第一象限内的单调性，巧妙地运用转化思想解题，从而避免了分类讨论． 　　本文通过对一道简单题的多种变式的分析、解答，使同学们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象有了较深刻的认识，真正地体现了一题多变，“幂”秘全现．同时对于形如[f(x)]α＜[g(x)]α(α＝－1，3，，4)型的不等式(α可以进一步推广，同学们自己研究)的解法有了全面的了解，而且在解题过程中充分体现了数形结合、分类讨论、转化等数学思想．