题目内容

等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a4＝b4，a10＝b10．

(1)求实数a1和d的值；

(2)b16是不是{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1＝a1dn－1．

　　由得

　　即．

　　两式相除整理得d9＋3d3＋2＝0．

　　解得d3＝－2或d3＝1(舍去)．

　　∴d＝－．

　　代入原方程中得a1＝．

　　∴a1＝，d＝－．

　　(2)由(1)得数列{an}、{bn}的通项分别为

　　an＝(2－n)，bn＝－(－)n．

　　故b16＝－(－)16＝－32．

　　由(2－n)＝－32，

　　解得n＝34．

　　故b16是数列{an}中的第34项．

　　思路分析：根据题设可知本题的等差数列、等比数列中的各项都能用a1和d表示，从而可建立起关于a1和d的方程组，可解出a1和d．


练习册系列答案
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如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（1）设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an-1（n≥2，n∈N）的关系式；
（2）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
（3）设数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a1，a2，a3，…，a10这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a8的值为
3
3
．
（2012•安徽模拟）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．
如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{bn}是等方差数列，b1=1，b2=3，求b7；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{an}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列{
1
an
}的前n项和为Tn，是否存在正整数p，q，使不等式Tn＞
pn+q
-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．
若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，前n项和为Tn，并且an2=T2n-1，求通项an；
（Ⅱ）若数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且an2=2n+1bn．2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．

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