Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（4，5cos（α+\;\frac{π}{6}）），\overrightarrow b=（3，-4tan（α+\frac{π}{6}）），\;α∈（0，\frac{π}{2}），\;\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
（1）求|$\overrightarrow a-2\overrightarrow b|$；
（2）求$sin（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，得到α+$\frac{π}{6}$的范围，求出$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，10），从而求出它的模；（2）先求出cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，从而求出$sin（2α+\frac{π}{12}）$的值即可．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，所以$4×3+5cos（α+\frac{π}{6}）×（{-4tan（α+\frac{π}{6}）}）=0$，…（2分）
解得 $sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$，又因为$α∈（0，\frac{π}{2}）$…（3分）
∴$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，而$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$…（5分）  （注：不交待些范围的，要扣2分）
∴$cos（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，…（6分）
所以$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，10），因此$|a-2b|=\sqrt{4+100}=2\sqrt{26}$．    …（8分）
（2）由（1）知，∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$．
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{25}$．                                     …（11分）
∴sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{17}{50}$$\sqrt{2}$…（14分）

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，考查向量问题，熟练掌握三角函数以及向量的基础知识是解答本题的关键，本题是一道中档题．