Question

（本小题满分12分）已知函数，

（Ⅰ） 若a =1，求函数的图像在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）如果当且时，恒成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，增区间为；

当时，增区间为，增区间为；

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：由题，

（Ⅰ）当 a =1时，，，

函数的图像在点处的切线方程为；

（Ⅱ）设

①当时，故增区间为；

若设设两根分别为，

② 当时，，所以增区间为；

③当时，，所以增区间为，增区间为；

综上，当时，增区间为；

当时，增区间为，增区间为；

（Ⅲ）可化为，设由（Ⅱ）可知：

①若有，由单调性，对，此时，，

同理，对，此时，，

所以符合题意；

②若有，可知则对，此时，，

不符合题意；

综上，符合题意的。

考点：导数的几何意义；曲线的切线方程的求法；利用导数研究函数的单调性。

点评：①我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。②利用导数求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域。