Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD边上的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE.

（1）求证：AD′⊥EB；

（2）求直线AC与平面ABD′所成角的大小.

Answer 1

解法一：（1）证明:因为AD′=D′E=1,取AE的中点O，连结D′O，则D′O⊥AE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，∴D′O⊥平面ABCE.                              ?

以O为原点，平行于BC的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，OD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示，

?

则A（，-，0）,B（，，0），C（-，，0），E（-，，0），D′（0，0，），∴=（-，，），=（-1，-1，0）.                                              ?

∵·=（-）×（-1）+×（-1）+×0=0，

∴⊥，即AD′⊥BE.                                                                                   ?

（2）解:设平面ABD′的法向量为n=(x,y,z).?

则即                                                      ?

∴令z=1，则x=.?

∴平面ABD′的一个法向量是n=(,0,1).                                                               ?

∴cos〈,n〉===-.                                        ?

设直线AC与平面ABD′所成的角为θ，则sinθ=|cos〈,n〉|=.?

∴直线AC与平面ABD′所成的角为Arcsin.                                                     ?

解法二：（1）证明:在RT△BCE中，BE==，?

在RT△AD′E中，AE==，?

∵AB²=2²=BE²+AE²，∴AE⊥BE.                                                                                   ?

∵平面AED′⊥平面ABCE，且交线为AE，?

∴BE⊥平面AED′.                                                                                                  ?

∵AD′平面AED′，

∴AD′⊥BE.                                                                                                            ?

 (2)解:设AC与BE相交于点F，由（1）知AD′⊥BE，?

∵AD′⊥ED′,

∴AD′⊥平面EBD′.                                                                                                 ?

∵AD′平面AED′，?

∴平面ABD′⊥平面EBD′，且交线为BD′.?

作FG⊥BD′，垂足为G，则FG⊥平面ABD′，?

连结AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD′所成的角.                                             ?

由平面几何的知识可知==，?

∴EF=13EB=.?

在RT△AEF中，AF===，?

在RT△EBD′中，=，可求得FG=.                                                  ?

∴sin∠FAG===.

∴直线AC与平面ABD′所成的角为arcsin.