Question

已知函数f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R）
（1）若f（x）是偶函数，求m的值．
（2）设g（x）=

f(x)

x

，x∈[

1

4

，4]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得，二次函数的对称轴为y轴，即x=0，由此可得m的值．
（2）根据函数g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，分①当

1

4

≤

m

≤4时、②当

m

＞4、③当m＜

1

16

时，三种情况，分别利用函数的单调性求得g（x）的最小值．

解答：解：（1）由于二次函数函数f（x）=x²+（m-1）x+m 的对称轴为 x=

1-m

2

，且函数为偶函数，故它的对称轴为y轴，故有

1-m

2

=0，m=1．
（2）由于函数g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，
①当

1

4

≤

m

≤4时，即

1

16

≤m≤16时，由基本不等式可得g（x）的最小值为2

m

+m-1，当且仅当x=

m

时，取得最小值．
②当

m

＞4，即 m＞16时，由于函数g（x）在[

1

4

，4]上是减函数，故g（x）的最小值为g（4）=3+

5

4

m．
③当m＜

1

16

时，函数g（x）在[

1

4

，4]上是增函数，故g（x）的最小值为g（

1

4

）=5m-

3

4

．
综上可得，g_min（x）=

5m- 3 4  ， m＜ 1 16 2 m +m-1 ， 1 16 ≤m≤16 3+ 5 4 m ，m≥16

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．