Question

某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N^*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：

日产量x	80	81	82	…	x	…	98	99	100
次品率p	1 28	1 27	1 26	…	P（x）	…	1 10	1 9	1 8

其中P（x）=

1

a-x

（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失

k

3

元（k为给定常数）．
（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？

Answer 1

分析：（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．
（2）令108-x=t，t∈[8，28]，t∈N^*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解

解答：解：（1）根据列表数据可得：a=108
P(x)=

1

108-x

(80≤x≤100，x∈N*)
由题意，当日产量为x时，
次品数为：

1

108-x

• x
正品数：(1-

1

108-x

)• x
∴y=(1-

1

108-x

)• x•k-

1

108-x

• x•

1

3

•k
整理得：y=

1

3

kx( 3-

4

108-x

)  （80≤x≤100，x∈N^*）

（2）令108-x=t，t∈[8，28]，t∈N^*
y=

1

3

k( 108-t)(3-

4

t

)
=

1

3

k[328-3(t+

144

t

)]
≤

1

3

k(328-3•2

t 144 t

)
=

256

3

k
当且仅当t=

144

t

即t=12时取得最大盈利，此时x=96

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，根据题意列出等式，并考查利用基本不等式求最值，属于中档题．