Question

设函数f（x）=（log₂x+log₂4）（log₂x+log₂2）的定义域为[

1

4

，4]，
（Ⅰ）若t=log₂x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用对数函数的单调性确定函数t=log₂x的取值范围；
（Ⅱ）利用换元法将函数y=f（x）转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）因为函数t=log₂x，单调递增，当x∈[

1

4

，4]时，log2

1

4

≤log2x≤log24，
即-2≤log₂x≤2，所以-2≤t≤2，即t的取值范围[-2，2]．
（Ⅱ）设t=log₂x，则函数y=f（x）=（log₂x+2）（log₂x+1）=（t+2）（t+1），-2≤t≤2，
设y=g(t)=(t+2)(t+1)=(t+

3

2

)2-

1

4

，
所以当t=-

3

2

时即t=log2x=-

3

2

，即x=2-

3

2

=

2

4

时，函数y有最小值-

1

4

，
当t=2时，即t=log₂x=2，x=4时，函数y有最大值为12．

点评：本题主要考查对数函数的性质以及二次函数的性质的应用，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键．