Question

设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（　　）

• A．0＜a＜1
• B．-

  1

  2

  ≤a≤

  1

  2

• C．-1≤a≤1
• D．-2≤a≤2

Answer 1

分析：据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的1高调函数，则对任意x，有f（x+1）≥f（x），结合图象分析可得1≥4a²；解可得答案．

解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x-a²|-a²=

x-2a2，x≥a2 -x，0≤x＜a2

图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a²，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a²-（-a²），
∴1≥3a²-（-a²），
∴-

1

2

≤a≤

1

2

故选B

点评：考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．