Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AB的中点，D是AA₁的中点，则三棱锥D-B₁C₁E的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  6

• C、

  1

  8

• D、

  3

  8

Answer 1

分析：根据S△B1DE=S矩形ABB1A1-S△A1B1D-S_△ADE-S△EBB1，求得S△DEB1=

3

4

S△AA1B1，再根据三棱锥的换底性可得VC1-AA1B1=VA-A1B1C1=

1

3

V_三棱柱，由此可得答案．

解答：解：∵S△B1DE=S矩形ABB1A1-S△A1B1D-S_△ADE-S△EBB1，
又E是AB的中点，D是AA₁的中点，∴S△A1B1D=

1

2

S△AA1B1
S_△ADE=

1

4

S△AA1B1，S△EBB1=

1

2

S△AA1B1，
S矩形ABB1A1=2S△AA1B1，
∴S△DEB1=

3

4

S△AA1B1，
∴VC1-DEB1=

3

4

VC1-AA1B1=

3

4

×

1

3

V_三棱柱，
∴三棱锥D-B₁C₁E的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比为1：4．

点评：本题考查了棱锥的体积计算，考查了棱柱与棱锥的体积的量化关系，关键是求得面积比．