题目内容

以下命题：
①若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，则
a
∥
b
；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为
1
5
；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
=20；
④若非向量
a
、
b
满足|
a
-
b
|=|
b
|，则|2
b
|＞|
a
+2
b
|．
其中所有真命题的标号是
①②
①②
．
分析：①已知|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，两边平方，可以对其进行判断；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4），求出两个向量的余弦值，
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为|
b
|cos＜
a
，
b
＞；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
是一个向量，不可能是一个值；
④非向量
a
、
b
满足|
a
-
b
|=|
b
|，两边平方可得|
a
|=2|
b
|cos＜
a
，
b
＞，利用等价的方法进行证明；
解答：解：①∵|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，两边平方可得|
a
|2+|
b
|2-2
a
•
b
=|
a
|2+|
b
|2-2|
a
||
b
|，
可得
a
•
b
=|
a
||
b
|，可得cos＜
a
，
b
＞=0，可得
a
，
b
平行，可得
a
∥
b
，故①正确；
②因为
a
=（-1，1），
b
=（3，4）可得cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-3+4
2
×5
=
2
10
，
∴
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为|
a
|cos＜
a
，
b
＞=
2
×
2
10
=
1
5
，故②正确；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，
BC
-
CA
，两个向量相减结果应该是一个向量，不可能为一个数，
故③错误；
④非向量
a
、
b
满足|
a
-
b
|=|
b
|，|
a
|2+|
b
|2-2
a
•
b
=|
b
|2，可得，|
a
|2=2
a
•
b
，
要证明：|2
b
|＞|
a
+2
b
|?4|
b
|2＞|
a
|2+4|
b
|2+4
a
•
b
?|
a
|2+2|
a
|2＜0，
因为向量
a
、
b
是非零的，|
a
|＞0，可得，|
a
|2+2|
a
|2＞0，故④错误，
综上①②正确；
故答案为：①②；
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积与向量的夹角与模，考查综合分析与解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
以下四个判断，正确的是（　　）
设
a
，
b
，
c
 是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：
①（
a
?
b
）?
c
-（
c
?
a
 ）?
b
=0；②|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|；③若存在唯一实数组λ，μ，γ 使γ
c
=λ
a
+μ
b
，则
a
，
b
，
c
共面；④|
a
-
b
|?|
c
|=|
a
c
-
b
c
|．真命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3

以下命题正确的是

A．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是棱台；

B．在中，若，则；

C．“”是“”的必要不充分条件；

D．“若且，则”的逆命题是真命题.

 

设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

A．若，则             B．若，则

C．若，则              D．若，则

 

设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

A．若，则             B．若，则

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