题目内容

设
a
，
b
，
c
 是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：
①（
a
?
b
）?
c
-（
c
?
a
 ）?
b
=0；②|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|；③若存在唯一实数组λ，μ，γ 使γ
c
=λ
a
+μ
b
，则
a
，
b
，
c
共面；④|
a
-
b
|?|
c
|=|
a
c
-
b
c
|．真命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
分析：根据两个向量数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解答：解：由题意可得，
a
，
b
，
c
 是空间任意的非零向量，且相互不共线．
由于（
a
•
b
）•
c
 表示与
c
共线的向量，而（
c
•
a
 ）•
b
表示与
b
共线的向量，故①（
a
•
b
）•
c
≠（
c
•
a
 ）•
b
，故①不正确．
根据三角形任意两边之和大于第三边，而|
a
|、|
b
|、|
a
-
b
|可构成三角形的三个边，∴②|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|正确．
当
a
，
b
，
c
 不共面时，则
a
，
b
，
c
 中的任何一个向量没有办法用其它两个向量表示，故③不正确．
由于|
a
-
b
|•|
c
|=
(
a
-
b
)2•
c
2
，|
a
c
-
b
c
|=
(
a
•
c
-
b
•
c
)2
=
(
a
-
b
)2•
c
2
，故④正确．
故选：C．
点评：本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．
练习册系列答案
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7、设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）
3、设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）
类比平面几何中的定理“设a，b，c是三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，得出如下结论：
①设a，b，c是空间的三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
②设a，b是两条直线，α是平面，若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
③设α，β是两个平面，m是直线，若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
④设α，β，γ是三个平面，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的个数是（　　）
设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；   ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若b?α，b⊥β，则α⊥β；  ④a⊥α，b∥β且α⊥β，则a⊥b
其中正确的个数是（　　）

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