Question

已知函数，．

(Ⅰ)当b＝0时，若f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；

(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对(a，b)：当a是整数时，存在x₀，使得f(x₀)是f(x)的最大值，g(x₀)是g(x)的最小值；

(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对(a，b)，试构造一个定义在，且上的函数h(x)，使当x∈(－2，0)时，h(x)＝f(x)，当x∈D时，h(x)取得最大值的自变量的值构成以x₀为首项的等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当b＝0时，f(x)＝ax2－4x， 　　若a＝0，f(x)＝－4x，则f(x)在[2，＋∞)上单调递减，不符题意． 　　故a≠0，要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，必须满足，∴a≥1． 　　(Ⅱ)若a＝0，，则f(x)无最大值，故a≠0，∴f(x)为二次函数． 　　要使f(x)有最大值，必须满足即a＜0，且． 　　此时，时，f(x)有最大值． 　　又g(x)取最小值时，x＝x0＝a，依题意，有， 　　则． 　　∵a＜0，且，∴，得a＝－1，此时b＝－1或b＝3． 　　∴满足条件的实数对(a，b)是(－1，－1)，(－1，3)． 　　(Ⅲ)当实数对(a，b)是(－1，－1)，(－1，3)时，． 　　依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可． 　　如对，， 　　此时，， 　　故．