题目内容
已知两点F1（0，-2），F2（0，2），且点P到这两点的距离和等于6．
（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；
（2）设点P（0，3），F1，F2，P关于直线y=x的对称点分别为P'，
，F2′，求以
，F2′为焦点，且过点P′的双曲线方程．
（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；
（2）设点P（0，3），F1，F2，P关于直线y=x的对称点分别为P'，
| F | ′ 1 |
| F | ′ 1 |
分析：（1）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后椭圆定义，得2a，c，再求出b．最后写出椭圆标准方程．
（2）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．
（2）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．
解答：解：（1）设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=6，c=2，所以，b2=a2-c2=5．
所以，椭圆的方程为
+
=1．…（5分）
（2）因为点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
设双曲线的方程为
-
=1(a＞0，b＞0)，
由双曲线定义，得2a=||P'F'1|-|P'F'2||=4，c=
，
所以，b2=c2-a2=10．
所以，双曲线的方程为
-
=1．…（10分）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=6，c=2，所以，b2=a2-c2=5．
所以，椭圆的方程为
| y2 |
| 9 |
| x2 |
| 5 |
（2）因为点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
设双曲线的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由双曲线定义，得2a=||P'F'1|-|P'F'2||=4，c=
| 14 |
所以，b2=c2-a2=10．
所以，双曲线的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 10 |
点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．
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，0)，F2(
，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝－m2－2m＋2(－2≤m≤0，m为常数)，则点P的轨迹是
，
，求以
，
为焦点，且过点P′的双曲线方程．