Question

【题目】（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，

分别为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面．

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又， ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴ ．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面． ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面………………………6分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………8分

∴平面是平面与平面的公垂面．

所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……9分

在中，，即．……………10分

又，

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………12分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图．

因为，，∴、、、6分

则，，．………7分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一个法向量为．……………………8分

设平面的一个法向量为，

则，即，令，

则． …………………10分

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵四边形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又， ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴ ．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面． ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面………………………7分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………9分

∴平面是平面与平面的公垂面．

所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……10分

在中，，即．……………11分

又，

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………14分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，

、、、，…………7分

则，，．………8分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一个法向量为．……………………9分

设平面的一个法向量为，

则，即，令，

则． …………………11分

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……14分