Question

已知f（1-sinx）=cos²x，则f（x）的解析式为

-x²+2x，x∈[0，2]

．

Answer 1

分析：设1-sinx=t，可得sinx=1-t，由sinx的值域得到t的范围，再由同角三角函数间的基本关系sin²x+cos²x=1，用t表示出cos²x，将1-sinx及cos²x换为关于t的关系式，得到f（t）的解析式，再把t化为x即可得到f（x）的解析式，且由t的范围可得出此时x的范围．

解答：解：设1-sinx=t，可得sinx=1-t，
∵-1≤sinx≤1，
∴0≤1-sinx≤2，即0≤t≤2，
又sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=1-sin²x=1-（1-t）²，
∴f（1-sinx）=cos²x可化为f（t）=1-（1-t）²=-t²+2t，
则f（x）的解析式为-x²+2x，x∈[0，2]．
故答案为：-x²+2x，x∈[0，2]

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦函数的值域，以及函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握基本关系是解本题的关键．