Question

已知f(x)=(

3

+sinx)(

3

+cosx)+(

3

sinx+1)(

3

cosx+1)．求函数f（x）的最大值及取最大值时相应的x的值．

Answer 1

分析：先将原式化简，再用换元法，转化为二次函数求最值

解答：解：先将原式化简，得f(x)=4sinxcosx+2

3

(sinx+cosx)+4…（2分）
令sinx+cosx=t(-

2

≤t≤

2

)，则有sinxcosx=

t2-1

2

进而y=f(x)=2t2+2

3

t+2=2(t+

3

2

)2+

1

2

(-

2

≤t≤

2

)…（6分）
根据二次函数图象，当t=1时，f（x）有最大值4+2

3

，此时sinx+cosx=1，x=2kπ或2kπ+

π

2

(k∈z)…（12分）

点评：本题主要考查三角函数最值问题，解题的关键是化简，及利用配方法求二次函数的最值．