Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，已知点N(-

a2

c

，0)，满足

F1F2

=2

NF1

且|

F1F2

|=2，设A、B是上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

的两点，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）有题意及椭圆的方程和性质利用

F1F2

=2

NF1

且|

F1F2

|=2，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由题意先设直线的方程为y=k（x+2）（k≠0），把直线方程与椭圆方程进行联立，利用韦达定理整体代换，借助于与

NA

=λ

NB

，得到k，λ的关系式，用λ表示k，有λ的范围再求出k的范围．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1

，
∴椭圆的方程是

x2

2

+y2=1．

（2）∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，
而N（-2，0），设直线的方程为y=k（x+2），（k≠0），
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
由△=(

4

k

)2-8•

2k2+1

k2

＞0，解得0＜k＜

2

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

①，
又由

NA

=λ

NB

得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
将②式代入①式得：

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1

，
消去y₂得：

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．
设?(λ)=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，当λ∈[

1

5

，

1

3

]时，?（λ）是减函数，
∴

16

3

≤?(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得

1

18

≤k2≤

1

4

，又由0＜k＜

2

2

得

2

6

≤k≤

1

2

，
∴直线AB的斜率的取值范围是[

2

6

，

1

2

]．

点评：此题考查了椭圆的方程及椭圆的基本性质，直线方程与椭圆方程进行联立设而不求及整体代换的思想，还考查了利用均值不等式求值域．