Question

已知函数f（x）=x²+ax+1，若?θ∈(

π

4

，

π

2

)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取值范围为

（1，

2

）

．

Answer 1

分析：由函数f（x）=x²+ax+1，?θ∈(

π

4

，

π

2

)，f(sinθ)=f(cosθ)，知sin²θ-asinθ+1=cos²θ-acosθ+1，由此推导出a=2

2

sin（θ+

π

4

），从而能求出a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+1，?θ∈(

π

4

，

π

2

)，f(sinθ)=f(cosθ)，
∴sin²θ-asinθ+1=cos²θ-acosθ+1，
∴sin²θ-cos²θ=a（sinθ-cosθ）
∴（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）=a（sinθ-cosθ），
∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴sinθ-cosθ≠0，
∴sinθ+cosθ=a，a=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ∈（

π

4

，

π

2

），得：θ+

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

），
∴sin（θ+

π

4

）∈（

2

2

，1），
所以：a=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

）．
故答案为：（1，

2

）．

点评：本题考查函数的零点的性质的灵活运用，解题时要认真审题，注意三角函数知识的合理运用．