题目内容

直线 $数学公式$ ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为

A.
$数学公式$ +1
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$ -1

A
分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，由图形可知点P（a，b）到焦点（0，1）的距离的最大值．
解答：

解：由圆x²+y²=1，所以圆心（0，0），半径为1
所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|= $\text{[math]}$ ，
则圆心（0，0）到直线 $\text{[math]}$ ax+by=1的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴2a²+b²=2，即a²+ $\text{[math]}$ =1．
因此所求距离为椭圆a²+ $\text{[math]}$ =1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离，
如图得到其最大值PF= $\text{[math]}$ +1
故选A
点评：此题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．