Question

若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切于第一象限，则实数

1

a

+

1

b

的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由题意可得a＞0，b＞0 且即

|0+0-1|

a2+b2

=1．故有 a²+b²=1≥2ab，从而得到

1

ab

的最小值为2．再利用基本不等式求出实数

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切于第一象限，则 a＞0，b＞0 且圆心到直线的距离等于半径，即

|0+0-1|

a2+b2

=1．
故有 a²+b²=1≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，即 ab最大值为

1

2

，

1

ab

的最小值为2．
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

2

，当且仅当a=b时，等号成立．
综上可得，实数

1

a

+

1

b

的最小值是2

2

，
故答案为 2

2

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题．