Question

14．在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=12，且直线与曲线C交于P，Q两点
（1）求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若|AP||AQ|=6，求直线L的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求出普通方程，即可求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若|AP||AQ|=6，利用参数的几何意义，求出k，即可求直线L的普通方程．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知得：x²+2y²=12；
由直线的参数方程知直线的直角坐标方程为：xsinα-ycosα-2sinα=0，
所以直线恒过定点A（2，0）；
（2）将直线l的方程代入曲线C的方程得：（sin²α+1）t²+4tcosα-8=0，
设点P，Q对应的参数分别为t₁，t₂，
因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，
所以t₁t₂=$\frac{-8}{si{n}^{2}α+1}$，
则|AP||AQ|=|$\frac{-8}{si{n}^{2}α+1}$|=6，
所以sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosα=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由此直线的方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2）．

点评 本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的 运用，考查转化思想以及计算能力．